Osterformel von Gauss: Wie berechnet man das Osterdatum?
Aktualisiert

Osterformel von GaussWie berechnet man das Osterdatum?

Ostern ist am ersten Sonntag nach dem ersten Vollmond im Frühling. Einigermassen bequem kann man dieses Datum erst seit 1800 berechnen.

von
Rolf Maag

Als der römische Kaiser Konstantin 325 n. Chr. die christlichen Bischöfe zu einem Konzil nach Nicaea (heute Iznik bei Istanbul) lud, ging es vor allem darum, doktrinäre Streitigkeiten beizulegen. Doch auch ein praktisches Problem stand auf der Tagesordnung: Wann genau sollte Ostern, das wichtigste christliche Fest, gefeiert werden?

Weil die Evangelien nur sagen, dass sich Kreuzigung und Auferstehung Jesu während des jüdischen Pessachfestes ereignet hätten, das im Frühling gefeiert wird, begingen die diversen christlichen Gemeinden Ostern an unterschiedlichen Daten. In Nicaea vereinbarte man nun, dass der erste Sonntag nach dem ersten Vollmond im Frühling als Ostersonntag zu gelten habe. Als Frühlingsanfang wurde der 21. März festgelegt. Ostersonntag ist somit frühestens am 22. März, spätestens am 25. April.

Komplizierte Berechnung

In Wahrheit schwankt der Frühlingsanfang aber zwischen dem 19. und 21. März, so dass das Osterdatum mehr als tausend Jahre lang mit einer komplizierten Berechnung bestimmt werden musste, die als «computus paschalis» (Osterrechnung) bekannt war.

Im Jahr 1800 veröffentlichte Carl Friedrich Gauss (1777–1855), einer der bedeutendsten Mathematiker der Geschichte, eine Formel, die die Osterrechnung erheblich vereinfachte. Der Anlass dazu war ein sehr persönlicher, denn Gauss wollte seinen Geburtstag wissen. Seine Mutter konnte ihm nur die Auskunft geben, er sei «am Mittwoch der Woche vor Himmelfahrt» des Jahres 1777 zur Welt gekommen. Mit seiner Osterformel konnte Gauss berechnen, dass in seinem Geburtsjahr Ostern auf den 30. März gefallen war. Also musste das Fest der Himmelfahrt (in der Schweiz: Auffahrt), das 40 Tage nach Ostern gefeiert wird, am 8. Mai gewesen und er folglich am 30. April 1777 geboren worden sein.

Die Modulo-Rechnung

Bevor wir zu Gauss' Formel kommen, müssen wir einen Blick auf die Modulo-Rechnung werfen, die auch modulare Arithmetik oder Kongruenz-Rechnung genannt wird. Die Grundidee ist einfach: Wir identifizieren eine natürliche Zahl a mit dem Rest, der bei Division durch eine andere natürliche Zahl n entsteht. Das bedeutet: Wir teilen eine natürliche Zahl a durch n und betrachten den Rest, der sich dabei ergibt.

Zum Beispiel ergibt 15 geteilt durch 7 den Rest 1. Entsprechend erhält man bei Division von 15 durch 8 den Rest 7 und bei Division von 15 durch 5 den Rest 0.

Für diesen Rest hat man eine besondere Schreibweise eingeführt, nämlich mod (gesprochen «modulo»). Wir schreiben 15 mod 7 für den Rest, der bei Division von 15 durch 7 entsteht. Also ist 15 mod 7 = 1. Entsprechend ist 15 mod 8 = 7 und 15 mod 5 = 0. Weitere Beispiele sind 11 mod 4 = 3 und 126 mod 11 = 5. Nochmals allgemein: Für natürliche Zahlen a und n ist a mod n diejenige Zahl, die sich als Rest ergibt, wenn man a durch n teilt.

Die Formel

Auf die astronomischen und mathematischen Hintergründe der Osterformel von Gauss können wir hier nicht eingehen. Wer sich dafür interessiert, findet hier Genaueres.

Wir benötigen zunächst zwei Konstanten, nämlich M = 24 und N = 5. Diese Werte gelten noch bis und mit 2099, von 2100 bis 2199 ist dann M = 24 und N = 6.

Nun müssen wir fünf weitere Grössen berechnen:

a = Jahr mod 19

b = Jahr mod 4

c = Jahr mod 7

d = 19a + M mod 30

e = 2b + 4c + 6d + N mod 7

Um das Datum des Ostersonntags zu erhalten, rechnen wir 22 + d + e. Wenn das Ergebnis kleiner oder gleich 31 ist, ist Ostersonntag am entsprechenden Märztag. Sollte sich eine grössere Zahl ergeben, ist Ostersonntag im April. Für das Datum rechnen wir d + e – 9.

Stimmt es 2015?

Nun wollen wir überprüfen, ob 2015 wirklich am 5. April Ostersonntag ist.

a = 2015 mod 19 = 1

b = 2015 mod 4 = 3

c = 2015 mod 7 = 6

d = 19 • 1 + 24 mod 30 = 19 + 24 mod 30 = 43 mod 30 = 13

e = 2 • 3 + 4 • 6 + 6 • 13 + 5 mod 7 = 6 + 24 + 78 + 5 mod 7 = 113 mod 7 = 1

Für das Datum des Ostersonntags rechnen wir 22 + 13 + 1 = 36. Diese Zahl ist grösser als 31, somit ist Ostersonntag im April. Also rechnen wir 13 + 1 – 9 = 5. Wie man sieht, erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

Frohe Ostern!

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