Ziegenproblem: Wie zwei Geissen die Köpfe zum Rauchen brachten

Aktualisiert

ZiegenproblemWie zwei Geissen die Köpfe zum Rauchen brachten

Vor über 20 Jahren löste eine Denksportaufgabe über zwei Ziegen und ein Auto eine heftige Kontroverse aus. Sie verrät uns einiges über das menschliche Denken und verblüfft bis heute.

von
Rolf Maag

Die amerikanische Journalistin Marilyn vos Savant gilt als die Frau mit dem höchsten je gemessenen Intelligenzquotienten. In der Zeitung «Parade» beantwortet sie seit Jahrzehnten Fragen, die ihr von Lesern gestellt werden.

1990 fragte Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland: «Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer der Türen wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiss, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; er öffnet eine andere Tür, sagen wir Nummer 3, und eine meckernde Ziege schaut hervor. Er fragt: «Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?»

Sturm der Entrüstung

Marilyn vos Savant antwortete: «Sie sollten wechseln. Tür Nummer eins hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von einem Drittel, Nummer zwei dagegen von zwei Dritteln.» Nun war die Hölle los.

Rund 10'000 Leserbriefe gingen bei «Parade» ein. Etwa 99 Prozent ihrer Verfasser waren überzeugt, dass Marilyn vos Savant die falsche Antwort gegeben habe. «Es gibt schon genug mathematische Unwissenheit in diesem Land», beschwerte sich ein Akademiker, «wir brauchen nicht den höchsten IQ der Welt, um diese Unwissenheit zu vertiefen. Schämen Sie sich!» Ein weiterer Leser merkte höhnisch an: «Vielleicht haben Frauen eine andere Sicht mathematischer Probleme als Männer.» Doch vos Savant hatte recht. Warum? Und wie ist es zu erklären, dass so viele Leute – darunter auch promovierte Mathematiker – das partout nicht einsehen wollten?

Zwei Ziegen, ein Auto

Nehmen wir an, der Kandidat habe sich zunächst für Tür 1 entschieden. Der Moderator muss in jedem Fall eine Tür öffnen, hinter der sich eine Ziege verbirgt, sonst wäre das Spiel sofort beendet. Nun sind drei Fälle möglich:

Fall 1: Das Auto ist hinter Tür 1. In dieser Situation kann der Moderator Tür 2 oder Tür 3 öffnen, da es sich bei beiden um Ziegentüren handelt. Wenn der Kandidat nun wechselt, gewinnt er das Auto nicht, denn er erwischt zwingend die vom Moderator nicht geöffnete Ziegentür.

Fall 2: Das Auto ist hinter Tür 2. Bei diesem Szenario muss der Moderator Tür 3 öffnen, weil er weder die vom Kandidaten gewählte noch die Autotür öffnen darf. Entscheidet sich der Kandidat jetzt um, landet er automatisch bei der Autotür, denn er hat am Anfang eine Ziegentür (Tür 1) gewählt, und der Moderator hat anschliessend die zweite Ziegentür (Tür 3) für ihn geöffnet.

Fall 3: Das Auto ist hinter Tür 3. Diese Konstellation ist identisch mit Fall 2: Der Kandidat hat sich für eine Ziegentür (Tür 1) entschieden, also kann der Moderator nur die andere Ziegentür (Tür 2) öffnen. Somit ist der Kandidat bei einem Wechsel zu Tür 3 der glückliche Gewinner.

Wie vos Savant behauptet hatte, gewinnt der Kandidat in zwei von drei Fällen, wenn er wechselt. Offensichtlich liegt das daran, dass die erste Wahl des Kandidaten mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln falsch war, denn es gibt nur eine Autotür, aber zwei Ziegentüren. Dennoch meinen nicht nur vos Savants damalige Kritiker, sondern fast alle, denen man dieses Problem vorlegt, es komme nicht darauf an, ob der Kandidat wechselt oder bei seiner ursprünglichen Entscheidung bleibt.

Basisratenfehler

Hier spielt uns die Tatsache einen Streich, dass wir alle – professionelle Statistiker eingeschlossen – ein schlechtes intuitives Verständnis von Wahrscheinlichkeiten haben. Wir starren darauf, dass eine Autotür und eine Ziegentür übrig bleiben, wenn der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat, und meinen daher, der Kandidat habe eine Gewinnchance von 50 Prozent, wenn er wechselt. Dabei übersehen wir, dass die Erfolgswahrscheinlichkeiten beider Wahlen des Kandidaten von der sogenannten Basisrate, also der zahlenmässigen Verteilung von Ziegentüren und Autotüren, abhängen. Man nennt diesen Fehlschluss daher auch «Basisratenfehler» (Base Rate Fallacy).

Bauer oder Bibliothekar?

Die israelischen Psychologen Amos Tversky und Daniel Kahneman haben den Basisratenfehler in Dutzenden von Experimenten untersucht. Beispielsweise legten sie ihren Probanden die Beschreibung einer fiktiven Person namens Steve vor: «Steve ist sehr schüchtern, zurückhaltend und stets hilfsbereit, doch er zeigt wenig Interesse an Menschen und der Realität. Er ist sanft und ordentlich, er hat ein starkes Bedürfnis nach Ordnung und Struktur und ist detailbesessen. Steve ist entweder Bauer oder Bibliothekar. Was halten Sie für wahrscheinlicher?»

Natürlich entspricht Steves Persönlichkeit ziemlich genau dem Stereotyp eines Bibliothekars; es überrascht also nicht, dass ihn die meisten «Versuchskaninchen» für einen Bibliothekar hielten. Sie bedachten dabei nicht, dass es in der Bevölkerung etwa 20-mal so viele Bauern wie Bibliothekare gibt – jedenfalls in den USA, wo das Experiment durchgeführt wurde. Es ist also fast sicher, dass mehr Bauern als Bibliothekare Steves Persönlichkeitsstruktur aufweisen, auch wenn dieser Typ unter Bibliothekaren verbreiteter sein mag. Auch hier liegt der Basisratenfehler vor: Die Verteilung der Bauern und der Bibliothekare in der Bevölkerung entspricht der Verteilung der Ziegen und des Autos hinter den Türen.

Keine überstürzten Urteile

Sowohl das Ziegenproblem als auch die Frage nach Steves Beruf zeigen eindrücklich, dass man sehr schnell einen Aspekt übersehen kann, der für die Beantwortung einer Frage relevant ist. Wenn wir also eine Entscheidung treffen müssen, von der sehr viel abhängt, sollten wir das Problem von möglichst vielen Seiten betrachten und Fehlerquellen zu identifizieren versuchen; das sogenannte Bauchgefühl kann einen leicht in die Irre führen. Andererseits müssen wir uns stets bewusst sein, dass uns das nie ganz gelingen wird, weil wir eben nicht die rationalen Wesen sind, für die wir uns manchmal halten. Im Idealfall werden wir durch diese Erkenntnis nachsichtiger – mit anderen, aber auch mit uns selbst.

Wer es noch genauer wissen will, kann sich hier die Erklärung des Mathematikers Rudolf Taschner zu Gemüte führen. (Quelle: Youtube/mathspacewien)

Deine Meinung